青 岛 科 技 大 学
二○一二年硕士研究生入学考试试题
考试科目：概率论与数理统计
注意事项：1．本试卷共9 道大题（共计17个小题），满分 150 分；
2．本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷上或草纸上均无效。要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划；
3．必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。
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1、（15分）假设在电源电压不超过200V, 200~240V, 和超过240V三种情况下，某电子元件损坏的概率分别为0.3，0. 1和0.2，电源电压X~N(220, ),（ ）求：(1)电子元件损坏的概率；（2）在电子元件损坏的条件下，电压超过240V的概率。
2、（15分）设二维离散随机变量 的联合分布列为
Y
X
0 1 2 3
0 0 0.01 0.01 0.01
1 0.01 0.02 0.03 0.02
2 0.03 0.04 0.05 0.04
3 0.05 0.05 0.05 0.06
4 0.07 0.06 0.05 0.06
5 0.09 0.08 0.06 0.05
试求 和 。
3、（15分）设随机变量 服从区间（0，2）上的均匀分布。（1）求 的密度函数；
（2） 。
4、（20分）设二维随机变量 有密度函数：
（1）求常数 ；
（2）求边缘概率密度 ；
（3） 是否相互独立。
5、（20分）设随机变量 ~ ， ~ ，相关系数 ，设
求： (1) 随机变量 的期望 与方差 ；
(2) 随机变量 与 的相关系数 。
6、（15分））设随机变量X的分布函数为 = ，试求
（1）常数 ；(2) ；（3）X的概率密度函数。
7、（15分）设随机变量序列 独立同分布，其密度函数为
其中常数 ，令 ，试证： 。
8、（20分）设总体 的概率密度函数为 ，其中 为未知参数。（1）求 的最大似然估计量 ；（2） 是否为 的无偏估计？
9、（15分）某电工器材厂生产一种保险丝，测量其熔化时间，依通常情况方差为400，今从某天产品中抽取容量为25的样本，测量其熔化时间并计算得 ， ，问这天保险丝熔化时间的方差与通常有无显著差异（取 ，假定熔化时间服从正态分布）？
参考数据:
， , 。
